距離空間

距離空間というものが気に食わなかった。なぜ\mathbb{R}が特別扱いされているのだろう。という議論の途中で考えたこと。

思うに完備アルキメデス順序体のアルキメデスってところが意外と重要なんじゃないかなと。

\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} で順序を保つ埋め込みが存在しないことの略証
辞書式順序を保つ全射写像を f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} が存在するとする。
f(1,1)-f(0,0) \ge \sup_{ S \in [0,1], finite} \sum_{x \in S} f(x,1)-f(x,0)
となるはずだが、右辺は発散するので矛盾。

(f(x,1)-f(x,0) は任意のx\in[0,1]に対して正だが、S_n = \{x| 2^{-n-1} < f(x,1)-f(x,0) <= 2^{-n}\} を考えると、ある S_n が存在してその濃度は非有限(でないと[0,1]が高々可算になり矛盾)。よって S_n から適当な数の元を選べば発散することが言える)

それのどこが non-trivial か、っていわれそうですけれども思いついたので…

全順序で最大最小を持たず順序に対して連結で可分ならば実数と位相空間として同型らしい。

連結と可分に効いてくるから。うにゃうにゃ。