形式主義者

http://d.hatena.ne.jp/nuc/20051204/p1

異星人と数学

ある数学者に「数学は人工物か、それとも自然に存在するか。」と尋ねた。そのときに、僕が述べた持論は「この宇宙の外に、十分に単純だが複雑な構造を持つ数学というものがあって、そしてその影がこの世界に揺らめいていると思うのです。」のようなものであったと思う。幼い頃からの付き合いとはいえ、えらく大上段(?)に構えたものだ。

そのときに、彼は、「うん。僕は人工物だと思う。」とそう答えた。「だが、数学者として信じねばならないことは、もしもこの宇宙のどこかに高度な文明を持った異星人がいるならば彼らも全く同じ数学を持っていることです。」といわれて、ああ、そうか、と思った。

でも、今はそうでもないかもしれないと思われる。彼らは、驚くほど奇妙な公理系を使っているかもしれない。あるいは彼らは我々よりも非常に賢いがゆえに、あまりにもすべてが自明で、証明を知らないかもしれない。

しかし、どちらにしろ局所的に十分単純だが大域的に非常に複雑なものの存在を知っているのではないだろうか。

もともとプラトニストの考えは僕の感覚に非常にマッチしていたのだけれども、大学生活の中で記号操作を重んじるようになり形式主義的になった。
最近は、形式主義とプラトン主義というのは、相反しないのではないかなと思っている。つまり、ある構造が唯一存在して、その切片のひとつひとつが公理系ではないだろうかと。どのような切り方をしても美しい構造がでてくるのではないだろうか。