見立て

集合論の言語の上にどうやって自然数を定義するか。そこには見立てがある。
ノイマンの自然数定義というのはそれなりに単純だから自然に見えるわけだけれども実数になればどうか。これこそが定義、といえるものが一意に定まるとは思えない。形式言語を構築してその上に欲しいものを見立てることもできる。
許容される範囲は経験的に実数とみなしているものが満たしている性質で決まるだろう。そのときにある命題が存在して、あるものはそれを満たし、あるものは満たさない、ということが起きる。

A という公理系とそれを拡張した A' という公理系があって、A の上では二つの自然数 N と N' が考えられて、A' からみると、A の中で N と N' に関して証明できることは同じなのだが、A' の中では二つが異なるという状況があるだろう。あるいは、A の中で N は P が示せるが N' の中では示せないということもありえるかもしれない。

そうしたときに A の上では N と N' の区別はできないと同時に同じであることもいえなくなるのではないだろうか。
最終的には定義とは何かという問題に行き着くのではないだろうか。

#書きかけの文章には
##公理系が弱いから、全単射が系の内部には存在しなくなるのか。
#と書いてあったのだが何が言いたいか分からないから残しておく。

#あれ、よく読むとただの超準モデル?? とはちょっと違うか。