コンパクトと点列コンパクト

コンパクトで点列コンパクトでない例は割と容易に作れる。
コンパクトハウスドルフ空間から適当に一点を除いて誘導位相で考えればいい。

ところで、その逆はどうなんだろう。下の pdf に点列コンパクトだがコンパクトでない例があがっていた。
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0412/0412558v1.pdf
つまり に を開集合とする位相を入れればよい、とのことだ。

短い別の証明を思いついたので書いておく。 が正則基数であることを使う。

コンパクトでないことは、開被覆として全体を除く [tex:\{x|x \omega] なので可算部分列はすべて有界になりそれを収束先と選べば、点列コンパクト。

もともとは ZFC より強い公理形でしか証明になっていないものを作れたらうれしいと思って、強到達不可能基数を仮定して作ったら、その条件はいらなかった。残念。