非可算無限和 - 白のカピバラの逆極限 S.144-3

「例のをみた丁度数日前に正実数の非可算無限和は必ず発散すると書かれている本を見た」と言われた。共時性を感じてはった。
証明のスケッチ

A を正実数の非可算無限集合とする。
$\sup A = \infty$ であれば、発散は明らかなので(任意の元に対してより大きな元をとれるから $\Large \forall N \exists \{a\} \subset A \quad \sum_{\lambda \in \{a\}} \lambda > N$ で明らか。) $\sup A < \infty$ としてよい。 $S_k=[2^{-k}\sup A,2^{-k-1}\sup A)$ とすると、これの直和は $[\sup A,0)$ 。
ここでAの各元は、 $S_k$ のどこかに属しているので $S_k$ どれかにはAの無限個の元が含まれている。(なぜならば、どこも有限個とすると有限個の可算和は可算無限だから矛盾。)
無限に元が含まれている区間 $S_{k_0}$ の元はすべて $2^{-k_0-1}$ より大きいから任意の数Nに対して、この区間に含まれる元を $2^{k_0+1}N$ 個以上持ってくればこの和はNより大きい。よって示された。

スケッチじゃねえな、これ。