非連続

sumii さんのところから。f(f(x))=-xなる実数から実数への関数fをもとめよ
f.f.f.f = id だから全単射。よって、f は全単射

fが連続写像だとする。連結な開集合を引き戻すと連結。なぜならば、と二つの開集合の直和でかけるならば、それを飛ばすと被りがないとおかしいので単射と矛盾。

の連結な開部分集合はという形で一意に書ける。

をfで飛ばしてになるかになるかだけれども、どっちでも一般性は失われない。∵(a,b)の取りかたを変えればいい。
結局 a<b<f(b)<f(a)としてよくて、(違ったら<と>を入れ替える。)
(b,f(b))がどこへとぶかを考えると(a,f(b))となって、全単射と矛盾。

ようするに連続関数じゃ無理。

連続じゃなければ本当に簡単で、-1 → 1 → -2 → 2 → -1 を適当に拡張してやればよい。

とを使っていいことにすれば有限の場合わけができて、そしたらできるに決まっているからあんまり面白くないなあと。だいたいどういう関数を使っていいのかはっきりしないと。

という風に考えていてやっぱり数学の定義は一般的になる傾向がある気がする。