コンピュータは数が扱えるか

A computer programming

http://d.hatena.ne.jp/nuc/20050726/p5
田崎先生のノートが(細かいところだけれども)要訂正と思ったので論じてみる。

もちろん、コンピューターのなかであつかわれる数もすべて有理数(のごく一部)だ。

という箇所であるが、何通りか解釈が出来るだろう。何通りか解釈が出来る時点で曖昧だから訂正するべきだろうが、ほうれん草の目利きののりで http://d.hatena.ne.jp/nuc/20050618/p4 あげてみる。

0. コンピュータは数が扱えないという考え方も出来る。なぜならば、ただ電圧の変化がおきているだけで、それは数自体ではないから。だとしたら、コンピュータで扱える数全体は空集合だからそれは有理数の一部で、命題は真。
だが、人が紙の上に8と書いた時に、"One fat lady" のような図形をSSSSSSSS0と解釈している(SSSSSSSS0も"八"自体ではないが)のだからその意味では人も数が扱えない。

1. コンピュータ全体の状態は{{0,1}^N|Nはコンピュータのサイズ}の部分集合と思えば、整数と対応付けられるから、まあ整数しか扱えない。
整数ならば有理数だから命題は真。

2. 機械語を想定していて、大抵の機械語として用意される"数"は、整数と浮動小数点型でそれは確かに有理数の一部だけれども、例えば half-adder というのは人がこれは adder だと解釈をしているわけで (A,B) \mapsto (A&&B, (A||B)&&!(A&&B)) (ugh! mimetex には mapsto が用意されていない。埋め込みもないのか。)の回路自体のどこが足し算かと聞かれれば、そこに解釈が入っている。その解釈と、「体 Q(\sqrt{2}) の元の一部を 128bits のビット列 (\text{double } a, \text{double } b) \dot{=} a + b \sqrt{2} で表現してFPUで演算を入れたもの」と解釈することに違いがあるかといわれれば、そこを区別する確固とした理由はないと思われる。そういう意味では、命題は偽。

3. また、機械語で直接表現される数だけを数とするならば、たしかに fortran や C は機械語で表現されるそのままの数を扱っているから、それらが整数型や浮動小数点型を扱えているのは確かだが、そうすると perl や scheme は無限(メモリーの許す限り)桁数の整数を扱うのでこれらは数もどきを扱っていることになる。他に Haskell では遅延評価を利用して精度が(言語として)限界のない実数を扱える。だが、これらは数もどきなので、命題は真。ただ、perl や scheme では数が扱えない?

4. あと上の議論は複素数の部分集合だけを数としてきたけれども、いくら Gelfand-Mazur の定理が実ノルム体ならば、C or R と同型と云っているにしても、あまり fair ではないかと。

5. もう一つ、コンピュータの原理的な限界と現在の実装とは区別されなくてはいけないと考える。

6. れ〜べんはいむ＝すこ〜れむノ定理によると、可算モデルありそう(顔。

みたいなことを考えまして、まとめると

> コンピューターのなかであつかわれる数
多分読み手は「原理的に扱える」と読み取るだろう。所詮なんかのモデルなんだ考えると「扱える」が哲学になって楽しいが、さらっと読む人がいることを考えると非常に曖昧で嫌だなあと。

> すべて有理数(のごく一部)
言いたいことは分かるのだけれども、全称量化子が密かに制限された範囲を動いている気がする。

あと、もう一つ correct と fair の区別がある気がして、現在のCPUが literal に扱える数は、64bit以下の整数型と浮動小数点型で、それらは有理数の一部である、というのは correct だろうが、fair かどうかは疑問だ。それは、例えば人が紙の上で literal に扱える数式記号は500種類に満たない(数適当)や、連結成分が有限である図形しか書けない、というのが何か誤解させようとしていると感じるのと同じであり、整数型と浮動小数点型だけだが、それらを組み合わせて他の数を表現できるというところまで言って fair だろうと。もっともコンピュータの解説ノートではないのでどこまで書くかは難しいが。

確率の問題〜正典〜

D quiz math

ゲーム全体の進行は以下の通り。あなたは3本中1本があたりなくじをひく。仮に1本選び、この時に中身は確認しない。どれがあたりか知っている人がやってきて、必ず1本はある残りののうちのはずれを引く(。二本あったときには何らかの方法で選ばれる確率が均等になるようにひかれる)。そして、そのハズレくじを公開する。くじを取り替えたほうが当たる確率は増えるか。

いま、Duke Lanc に話したのだけれども、某所で非常に危ない匂いがする。尊敬できる方なので地雷を踏んで欲しくないのだが、放置(顔。
私は間違いには寛容であるつもりだ。僕もよく間違う。それに高校の時に授業を真面目に聞いていたら大体一学期に一度は間違っていた。(分かりやすいのだと「木星の衛星は皆ゼウスの妃から名づけられています。」ガニメデは?とか。大学でもあったし、その人の専門分野であることもあった。)大抵は授業中や授業後に聞いて納得してくれるからよい。
ただひとつ許しがたいのは「間違いであるか判断する能力がない」のに語っている時だ。立花隆はそれ。


「グアァァァ！」踏んじゃった。

続きは、 http://d.hatena.ne.jp/nuc/20050727/p6 参照。

家庭教師のトライ

D interpretation exam

『知的な女子大生キャバ嬢』東京地区予選？
http://blog.livedoor.jp/saintbeam2001/archives/50002282.html
家庭教師のトライが「Ｔ−１グランプリ」という企画をやっているようだ。
５１名の女性教師の中から、インターネット家庭教師「トライ＠ＨＯＭＥ」のナンバーワン家庭教師を決めるらしい。
で、上のリンクによると「１番と２番が昨年と一昨年のミス東大で東大生がその２人だけ」らしいのだが、いくらもらって参加したんだ?
たぶん、時給に格差があると愚考するのでありますが。

確率の問題〜偽典〜

D quiz math

http://d.hatena.ne.jp/nuc/20050727/p3 参照。

ゲーム全体の進行は以下の通り。あなたは3本中1本があたりなくじをひく。仮に1本選び、この時に中身は確認しない。ある人がやってきて1本ひいて中を見たらハズレだった。くじを取り替えたほうが当たる確率は増えるか。

さて。では何があったかを説明しよう。
hirax.net といえば分かるだろうが、そこの"問題編"で偽典と等価な問題が出されたにもかかわらず正典側の回答がついている。さらに詳しい解説を書かれるつもりのようだから説明の過程で気がついて訂正されることを期待している。気が付かれないようならば連絡を差し上げるつもりだ。

あと、 hirax さん。もしも、ここをみて間違いに気がついたら恥だと思って消さずに何を間違えたかをまとめたほうがいいと思いますよ。

それはさておき、これに関係して小咄を一つ。
高校の頃だったろうか、帰り道に友人にこう聞かれた、「ねえ、上り坂と下り坂どっちが多い?」。僕は思わずにやっと笑ってこう答えた。「そうだねぇ。十三階段は下れない。」

坂じゃないじゃん。

11/21追記： ちなみに、ネタの出所は http://www.hirax.net/diaryweb/2005/07/27.html であります。「実験」などはなかなかいいセンスをしていると思います。