イデアルと円の交点を通る直線

高校のときに、どうしても腑に落ちなかった解法がある。

二つの円があり、それぞれの方程式を

とするときに、この二つの交点を通る直線の方程式は

というものだ。

別に間違っていると感じるとかそういうわけではない。

私は、それこそ小学校のときから感性で数学を解いていた。
花瓶には花が生けられるべきだ。池には魚。空には雲。
すると自然に解けている。

ところが、この解法はそうではない。何か誤った方向に
遠回りをしようとしているように見えて結果的に綺麗に解けるのだ。

ところが、最近イデアル概念からこれを整理したら自然にみえた。