Machin の公式 - 白のカピバラの逆極限 S.144-3

$\Large \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$
をみて、Machin の公式の話をしたくなった。

円周率は 3.05 より大きいという問題が東大入試に出た。

ああ、Machin の公式、と思いながら結局正多角形で近似をするオーソドックスな方法で解いた。
これは arctan の加法定理とテーラー展開を知っていると、手で計算しやすい級数展開が用意できるのだ。
$x = \tan y$ を逆関数の微分すると
$\frac{dy}{dx} = \cos^2 y= \frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4 - \cdots$
収束半径 $x<1$ で、0 から 1 まで両辺を積分。
$\Large \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$ である。
ところで、 $\Large \tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$ だから $\Large \arctan a + \arctan b = \arctan \frac{a+b}{1-ab}$ 。
級数が計算しやすそうなものとして、1/5 を使うように選ぶと
$\Large \pi/4 = \arctan 1 = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}$
となり、こいつはとても楽に手計算できる。