興味をそそらない定理 - 白のカピバラの逆極限 S.144-3

itashinさんところで下のような記述を見つけた。
http://d.hatena.ne.jp/itashin/20050714/p1

それに、美しい定理と醜い定理の対比もありましたが、自分は、醜い定理の方がずっと面白いと思いました。たとえば、「各桁の3乗を足すと元に戻るような1より大きい数字は何桁であろうと153,370,371,407の他に無い」というのは醜いそうです。

これは確かに興味をそそらないんですよ。自然数なのは明らかで、そうすると4桁以下だということがその瞬間に分かります。というのも、 $\Large \sum_{k=0}^n a_k 10^k = \sum_{k=0}^n a_k^3 \qquad (0 \leq a_k < 10)$ を考えると n が5以上で1だと、左辺が $\Large 10^n$ より大きくなるのに右辺は $\Large 9^3n$ 以下です。そうすると、2916 よりも小さいところにしかなくて、そんなかに 4 つもあるんですよ。コンピュータ走らせればすぐでる。例えば美しくないけど下のHaskellコード。

Prelude> filter (\xs -> foldl (\x -> \y -> 10*x+y) 0 xs == sum (map (\n -> n*n*n) xs) ) $ (\xs -> [ [w,x,y,z]| w<-xs, x<-xs, y<-xs,z<-xs ] ) [0..9]
 [ [0,0,0,0],[0,0,0,1],[0,1,5,3],[0,3,7,0],[0,3,7,1],[0,4,0,7] ]

で、この定理はもう一つ美しくないところがあって、それは十進法での桁の和を考えているから、人間の指の数に左右されている定理だというところ。

ついでに、

面白いと思ったのは、「真であろうと偽であろうと決して証明出来ない命題がありうる」という事が既に証明されており、かつ「その命題が証明出来るかどうかを判定することは不可能」という事まで証明されているという話です。

過剰反応な気がするのだけど、微妙〜に違和感を感じます。専門家の方の前なので慎みますが。

あああ。Haskellコードってきれいにかけない時って大抵知識不足だから凹むなあ。