っていうか事象って何さ

これ以上、数式を避けて書いても、知的好奇心を満足させて、かつ、罪悪感を感じない程度に誤魔化されたものしかできない気がする。いいや。

ZF,ZFCのクラスはマクロ定義のようなものだと思う。集合全体Sは集合にならない。なぜかというと、集合全体をSとしてこれが集合ならば分出公理を一発かませば正則性公理に反するから。また、ペアP({a,{a,b}}のような集合)でも一緒。ただ、ペアのクラスをPと表しておくと、

というように使えて便利。
これは

の糖衣構文。

昨日の話の拡張。ZFだと実数[0,1]*1の中で測度(長さの拡張概念)を普通に入れたときに測度が定義できないような部分集合が作れないとしてもいいが、ZF に 選択公理を加えた公理系 ZFC では、長さがあるとすると矛盾するような集合が作れる。つまり、公理を一つ足したことによって今までなかった集合ができる。
以前、話題になっていたZFでは証明できないがZFCでならば示せるバナッハ・タルスキーの定理から「半径1の球をいくつかに分割して回転と平行移動をすれば、半径1の球が二つにできる」ということがいえるが、これは分割した瞬間に体積が定義できない謎の物体に変わり移動が終了して合わさった時に再び体積が定義できる物体に戻る。
後は、圏論。カテゴリーとも呼ばれる。ここに「巨大な圏」という概念がある。これは集合全体の圏とか群全体の圏といった集合論では扱えないものも扱う。

基礎論は趣味程度の学生がほとんど何も見ずに書いているので間違いがあるでしょう。基礎論が怖いのは、真っ当な数学者でもたまに踏み間違えるらしいから。不完全性定理とかね。

*1:0以上1以下