雪山の怪談

雪山で遭難した5人が深夜になってようやく山小屋を見つけた。山小屋には電気も燃やすものもなかった。初め全員が中央で体を寄せ合っていたが、一人は極端な体温低下から死亡した。
リーダーは、このままでは疲れと襲ってくる眠気に耐えられないと判断して、次のような運動をしようと提案した。「四人が部屋の四隅に行き、うち一人が反時計回りに歩く。次の角に来たところでそこに座っている人の肩をたたく。肩を叩かれた人は休むのを交代し、次の角へと向かう。」こうして 1/4 の時間歩き 3/4 の時間を休めば、体温も冷えず疲れも取れるだろうというのだ。
リーダーの案は功を奏し、4人が交互に回ることで日の出まで耐え抜き救助されたのだった。
後日、メンバーの一人が何かおかしいと言い出した。何がおかしいのだろうか。

突っ込みどころはたくさんあるのは承知だが、なんと言っても一人が途中で倒れてしまったらおしまいというところに不安がある。そこでもう少し fail safe な機構を用意しよう。全員が同時に動いたほうが楽しそうだ。というわけで次の問題。

ものすごく巨大な花時計がある。そして、数字のところに人が立っている。いま、全員が時計回りか反時計回りに分針と同じ速さで動き出した。たとえば、1時のところに立っていた人は、時計回りに歩き出して、2時のところに立っていた人は反時計回りに歩き出したかもしれない。彼らはお互いに会うと挨拶をして引き返していく。たとえば、さっきの例だと、2分30秒後に1時と2時の間のところで二人は出会い、5分後に二人とも元の場所に戻る。
さて。初めの12人がどのように動いたとしても(実に 2^12 乗通りもあるが)、ある時間が経った後には全員が初めにいた位置に戻っていることがありうる。例えば、全員が時計回りに歩き出せば一時間後には全員が元の位置に戻ってくる。だが、一人だけ反時計回りに回った場合は一時間後にはそうはなっていない。さて、初めに動き出した方向がどのようであったとしても、ある時には全員が元のところに戻っていると言える。それはいつか。

ところで、先の怪談ではリーダーがある戦略を取れば上の状況を引き起こせる。どうすればよいだろうか。

「冬に落水したら」